2019年南京信息工程大学博士研究生招生入学考试考试大纲-泛函分析

南京信息工程大学博士研究生招生入学考试

考试大纲

考试科目代码：2011

考试科目名称：泛函分析

第一部分大纲内容

1． 实分析基础知识

(1)熟练掌握测度的定义和基本性质,理解特殊集合测度的计算。

(2)理解零测集，了解测度的完备化。

(3)掌握Lebesgue积分定义、基本性质；熟练掌握Fatou引理与控制收敛定理；理解可测函数的几乎处处相等等价关系。

(4)掌握Young不等式，Jensen不等式； Holder不等式和Minkowski不等式。

(5)掌握空间定义，理解空间的完备性及其证明。

2. 度量空间

(1) 掌握度量空间定义，关键是距离和代数结构对空间的影响，了解度量空间拓扑性质是由距离决定的。

(2) 掌握度量空间收敛概念；掌握开集、闭集、导集、闭包定义和性质，理解空间距离对这些集合的影响。

(3) 掌握内点、外点、聚点、孤立点的定义和性质，掌握完备性、稠密性和可分性的概念。理解集合完备性、稠密性和可分性的证明方法。

(4) 理解稀疏集、第一型集和第二型集。

(5) 掌握全有界集、有限网、紧集、列紧集、相对紧集概念，理解紧集上连续函数的性质。理解有界集、有限网、紧集、相对紧集之间关系。

(6) 掌握全连续映射概念，理解全连续映射证明方法;了解空间距离与全连续映射之间关系。掌握映射为全连续映射的证明方法，了解压缩映射不动点定理及其应用。

(7) 理解Ascoi-Arzela定理，了解Ascoi-Arzela定理在证明函数列具有紧性中的应用。

3．赋范线性空间与内积空间

   (1)掌握赋范线性空间、数列型空间与函数型空间，有限维与无穷维空间的特性;掌握完备概念和Banach空间. 理解等价范数概念、空间完备性证明方法;了解常用的经典Banach函数空间的特征和基本性质。

(2)理解佳逼近，Riesz引理，凸集及其性质，Minkowski泛函Brower不动点定理（不证明）及Schauder不动点定理，关于初值问题解的存在性的Caratheodory定理。

(3)掌握内积空间，　Hilbert空间概念,理解范数与内积、赋范线性空间与内积空间之间关系.

(4) 掌握变分原理与正交分解定理,了解Hilber空间中的佳逼近元和Schauder基.

(5) 掌握正交、正交集、标准正交集、正交基和标准正交基等概念；理解Hilbert空间中的Fourier分析；了解Bessel不等式、Parseval等式及其应用。

4．线性算子

（1） 掌握线性算子有界性、连续性概念及其它们之间关系;掌握线性算子范数定义及其计算;理解线性算子定义域空间和象空间的范数对线性算子范数的影响.

（2）掌握有限维空间线性算子范数的计算方法;了解常用线性算子范数的计算方法.

（3） 掌握有界线性算子空间; 理解Hilber空间的Ricsz表现定理, 开映象定理Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理.了解Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理的应用.

（4） 掌握Hahn-Banach定理;理解线性泛函延拓定理；了解这些定理的应用。

5．对偶空间与自反空间

（1） 掌握对偶空间与自反空间的定义;理解与之间关系.掌握Hilber空间对偶空间的性质;理解特殊函数空间对偶空间的表示.了解自反空间和非自反空间的证明方法.

（2） 掌握赋范线性空间中点列按范数收敛和弱收敛的概念; 理解赋范线性空间中点列按范数收敛和弱收敛之间关系.

（3） 掌握弱*收敛概念及其性质;理解弱*收敛与弱收敛之间关系;了解弱闭集、弱紧集，弱*闭集、弱*紧集概念。

（4） 理解对偶算子及其范数概念;了解算子范数与其对偶算子范数之间关系.

（5） 了解有限维空间到有限维空间算子的对偶算子的表示.

第二部分说明

1．基本要求：泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点本课程对各考核点的能力要求一般分为三个层次用相关词语描述：

2． 分值比例：“了解”占15%，“理解”占40%，“掌握”占45%。

3．题型分布：解答题和证明题两种题型。

4．其他规定：考试方式为闭卷笔试。考试时间为180分钟，试题主要测验考生对本学科的基础理论、基本知识和基本技能掌握的程度，以及运用所学理论分析、解决问题的能力。